Постройте график функции = (x^2-5x+6) / (x-3) и найти все значения a, при которых прямая y=a не имеет с графиком данной функции общих точек

Комментарии 1

Добавить комментарий

Мишаня22 13.11.2023 в 12:26

Для начала построим график функции $f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-3}$ .

Для этого нужно найти точки, в которых функция не определена, а именно, решить уравнение $x-3=0$ . Получаем, что функция не определена при $x=3$ .

Теперь найдем асимптоты функции. Для этого вычислим предел $\lim_{x \to \infty} f(x)$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .

Разобьем функцию на две составные части:

$f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x-2$ при $x eq 3$ .

Тогда пределы можно вычислить так:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (x-2) = \infty$ .

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x-2) = -\infty$ .

Таким образом, график функции имеет горизонтальные асимптоты $y=\infty$ при $x \to \infty$ и $y=-\infty$ при $x \to -\infty$ .

Теперь построим график функции.

Для этого выберем несколько значений $x$ и найдем соответствующие значения $y$ .

Подставим $x=-2$ :

$f(-2) = \frac{(-2)^2-5(-2)+6}{(-2)-3} = \frac{4+10+6}{-2-3} = \frac{20}{-5} = -4$ .

Подставим $x=0$ :

$f(0) = \frac{0^2-5(0)+6}{0-3} = \frac{6}{-3} = -2$ .

Подставим $x=1$ :

$f(1) = \frac{1^2-5(1)+6}{1-3} = \frac{1-5+6}{-2} = 2$ .

Подставим $x=4$ :

$f(4) = \frac{4^2-5(4)+6}{4-3} = \frac{16-20+6}{1} = 2$ .

Таким образом, имеем следующие значения: (-2, -4), (0, -2), (1, 2), (4, 2).

Теперь нарисуем график, соединив эти точки.

Найдем значения $a$ , при которых прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек.

Для этого нужно определить, при каких значениях $a$ уравнение $a=f(x)$ не имеет решений.

Для этого решим уравнение $a=x-2$ . Если $x=a+2$ , то при $a<3$ получаем, что $x<5$ .

Таким образом, все значения $a$ , при которых прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек, являются значениями $a<3$ .

Ответить