Рассмотрим последовательность цифр, которую получим при возведении числа 7 в степени 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Заметим, что эта последовательность будет повторяться с периодом 4: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 и так далее.
Теперь посмотрим, как можно свести задачу возведения числа 777 в степень 778 к уже известным значениям.
777 = 4 * 194 + 1, так как 777 нацело делится на 4 с остатком 1.
Тогда 777^778 = (4 * 194 + 1)^778. Раскроем это выражение с помощью бинома Ньютона и оставим только последнюю цифру.
Обратим внимание, что все слагаемые, кроме первого, содержат множитель 194^k, где k > 0. Из предыдущего пункта мы знаем, что последние цифры степеней числа 7 образуют период 7, 9, 3, 1. Поэтому последние цифры всех таких множителей тоже образуют период.
Получается, что слагаемые с множителями вида 4^i * 194^k, где k > 0, дают вклад, который начинается цифрой, соответствующей k, и повторяется с периодом 7, 9, 3, 1.
Когда k = 1, получаем слагаемые вида 4^i * 194, которые дают вклад в последнюю цифру, начинающийся на цифру 4 и повторяющийся с периодом 7, 9, 3, 1.
Таким образом, в задаче исходное число 777^778 сводится к сумме вида X * 7 + Y * 9 + Z * 3 + W * 1, где X, Y, Z и W — некоторые целые числа.
Теперь осталось найти последнюю цифру этой суммы. Воспользуемся тем, что сумма цифр 7 + 9 + 3 + 1 = 20 и имеет ту же последнюю цифру, что и само число. То есть, для нашей суммы, последняя цифра будет равна (20 * N) % 10, где N — количество слагаемых вида 4^i * 194^k.
В нашем случае N = 778, так как степень в разложении бинома Ньютона принимает все значения от 0 до 778 включительно.
Тогда, (20 * 778) % 10 = 1560 % 10 = 0. Таким образом, последняя цифра числа 777^778 равна 0.
Рассмотрим последовательность цифр, которую получим при возведении числа 7 в степени 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Заметим, что эта последовательность будет повторяться с периодом 4: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 и так далее.
Теперь посмотрим, как можно свести задачу возведения числа 777 в степень 778 к уже известным значениям.
777 = 4 * 194 + 1, так как 777 нацело делится на 4 с остатком 1.
Тогда 777^778 = (4 * 194 + 1)^778. Раскроем это выражение с помощью бинома Ньютона и оставим только последнюю цифру.
Раскрытие бинома Ньютона даст нам сумму следующих слагаемых: C(778, 0) * 4^778 * 194^0 + C(778, 1) * 4^777 * 194^1 + C(778, 2) * 4^776 * 194^2 + … + C(778, 778) * 4^0 * 194^778.
Обратим внимание, что все слагаемые, кроме первого, содержат множитель 194^k, где k > 0. Из предыдущего пункта мы знаем, что последние цифры степеней числа 7 образуют период 7, 9, 3, 1. Поэтому последние цифры всех таких множителей тоже образуют период.
Получается, что слагаемые с множителями вида 4^i * 194^k, где k > 0, дают вклад, который начинается цифрой, соответствующей k, и повторяется с периодом 7, 9, 3, 1.
Когда k = 1, получаем слагаемые вида 4^i * 194, которые дают вклад в последнюю цифру, начинающийся на цифру 4 и повторяющийся с периодом 7, 9, 3, 1.
Таким образом, в задаче исходное число 777^778 сводится к сумме вида X * 7 + Y * 9 + Z * 3 + W * 1, где X, Y, Z и W — некоторые целые числа.
Теперь осталось найти последнюю цифру этой суммы. Воспользуемся тем, что сумма цифр 7 + 9 + 3 + 1 = 20 и имеет ту же последнюю цифру, что и само число. То есть, для нашей суммы, последняя цифра будет равна (20 * N) % 10, где N — количество слагаемых вида 4^i * 194^k.
В нашем случае N = 778, так как степень в разложении бинома Ньютона принимает все значения от 0 до 778 включительно.
Тогда, (20 * 778) % 10 = 1560 % 10 = 0. Таким образом, последняя цифра числа 777^778 равна 0.