Задание
Решите уравнение sin5x=sinx
Решение
Для решения данного уравнения sin(5x) = sin(x), мы будем использовать свойства тригонометрии и тождества синуса аргумента.
Свойство синуса гласит, что sin(θ) = sin(π — θ), или sin(θ) = sin(nπ + θ), где n — целое число.
В данном случае мы можем применить это свойство, а именно:
sin(5x) = sin(x) можно переписать как sin(5x) — sin(x) = 0.
Заметим, что мы можем факторизовать это выражение, используя разность синусов:
2*sin(2x) * cos(3x) = 0.
Теперь мы получили два уравнения для sin(2x) = 0 и cos(3x) = 0.
Уравнение sin(2x) = 0 имеет решения при 2x = 0, π, 2π, и т.д.:
2x = 0 -> x = 0
2x = π -> x = π/2
2x = 2π -> x = π
…
Уравнение cos(3x) = 0 имеет решения при 3x = π/2, 3π/2, 5π/2 и т.д.:
3x = π/2 -> x = π/6
3x = 3π/2 -> x = π/2
3x = 5π/2 -> x = 5π/6
…
Ответ: x = 0, π/6, π/2, 5π/6, π, и т.д.