Главная страница Решите уравнение sin2x=корень из 2cosx (Pi/2+x). И найдите корни на промежутке. Комментарии 1
Давайте решим данное уравнение поэтапно:
1. Перепишем уравнение в более удобном виде:
sin^2(x) = sqrt(2) * cos(x) * cos(x+?/2)
2. Заметим, что sin^2(x) = 1 — cos^2(x), и заменим sin^2(x) в уравнении:
1 — cos^2(x) = sqrt(2) * cos(x) * cos(x+?/2)
3. Вынесем cos(x) за скобку:
1 — cos^2(x) = sqrt(2) * cos(x) * sin(x)
4. Поделим обе части уравнения на cos(x):
(1 — cos^2(x)) / cos(x) = sqrt(2) * sin(x)
5. Раскроем скобки в числителе:
1/cos(x) — cos^2(x)/cos(x) = sqrt(2) * sin(x)
6. Учтем, что 1/cos(x) = sec(x):
sec(x) — cos(x) = sqrt(2) * sin(x)
7. Перепишем в терминах sin(x) и cos(x):
1/cos(x) — cos(x)/cos(x) = sqrt(2) * sin(x) / cos(x)
sec(x) — 1 = sqrt(2) * tan(x)
8. Заметим, что sec(x) — 1 = sec(x) — sec(0):
sec(x) — sec(0) = sqrt(2) * tan(x)
9. Воспользуемся тригонометрической формулой приведения:
sec(x) — sec(0) = sqrt(2) * tan(x)
sec(x) — sec(0) = sqrt(2) * (sin(x) / cos(x))
sec(x) — sec(0) = sqrt(2) * (sin(x) / (sqrt(1 — sin^2(x))))
10. Упростим выражение:
sqr(1 — sin^2(x)) * sec(x) — sec(0) * sqr(1 — sin^2(x)) = sqrt(2) * sin(x)
sqr(cos^2(x)) * sec(x) — sec(0) * sqr(cos^2(x)) = sqrt(2) * sin(x)
cos(x) * sec(x) — sec(0) * cos(x) = sqrt(2) * sin(x)
cos(x) * (1 / cos(x)) — sec(0) * cos(x) = sqrt(2) * sin(x)
1 — sec(0) * cos(x) = sqrt(2) * sin(x)
11. Перепишем в терминах cos(x) и sin(x):
1 — sec(0) * cos(x) = sqrt(2) * sin(x)
1 — 1 = sqrt(2) * sin(x) + sec(0) * cos(x)
0 = sqrt(2) * sin(x) + cos(x)
12. Решим уравнение:
0 = sqrt(2) * sin(x) + cos(x)
sin(x) = -sqrt(2) * cos(x)
tg(x) = -sqrt(2)
x = arctg(-sqrt(2))
13. Найдем корни на заданном промежутке. Для этого подставим значения в уравнение sin^2(x) = sqrt(2) * cos(x) * cos(x+?/2) и проверим, выполняется ли равенство:
sin^2(arctg(-sqrt(2))) = sqrt(2) * cos(arctg(-sqrt(2))) * cos(arctg(-sqrt(2))+?/2)
Подставим в тригонометрические функции значения, получаем:
sin^2(arctg(-sqrt(2))) = sqrt(2) * cos(arctg(-sqrt(2))) * cos(arctg(-sqrt(2))+?/2)
(-sqrt(2))^2 = sqrt(2) * cos(arctg(-sqrt(2))) * cos(arctg(-sqrt(2))+?/2)
2 = sqrt(2) * cos(arctg(-sqrt(2))) * 0
Уравнение не выполняется. То есть на заданном промежутке уравнение sin^2(x) = sqrt(2) * cos(x) * cos(x+?/2) не имеет корней.
Ответ: на заданном промежутке нет корней уравнения sin^2(x) = sqrt(2) * cos(x) * cos(x+?/2).